Lissage de Holt (tendance)

Comprendre pas à pas

1. Les données de l'exemple

Une entreprise vend un produit dont les ventes mensuelles augmentent régulièrement, avec des à-coups d'un mois sur l'autre. Voici ses 18 derniers mois :

La question : combien prévoir pour les 6 prochains mois ?

2. Pourquoi une simple moyenne ne suffit pas

La moyenne des 3 derniers mois vaut 452. Mais les ventes gagnent environ 10 unités par mois : une moyenne regarde le passé, elle sera donc toujours en retard sur une série qui monte. Le dernier mois réel (468) est déjà au-dessus de cette moyenne. Il faut une méthode qui tienne compte de la pente : c'est le rôle de Holt.

3. L'idée de Holt : suivre deux choses

Si on connaît la position et la vitesse, on sait où sera la voiture dans h mois :

Prévision dans h mois = Niveau + h × Tendance

Chaque mois, quand la vente réelle tombe, on corrige un peu le niveau et la tendance. C'est tout le principe.

4. Les trois formules, en clair

1. Prévision du mois t = L_t−1 + T_t−1

   Avant de connaître les ventes du mois, on prévoit : niveau du mois précédent + une tendance.

2. Nouveau niveau L_t = α × vente réelle + (1 − α) × prévision

   Le nouveau niveau est un mélange entre ce qui s'est vraiment passé et ce qu'on avait prévu. α (entre 0 et 1) dit combien on fait confiance à la vente réelle : avec α = 0,3, on prend 30 % de la vente réelle et 70 % de la prévision.

3. Nouvelle tendance T_t = β × (L_t − L_t−1) + (1 − β) × T_t−1

   On regarde de combien le niveau vient de bouger (la pente constatée ce mois-ci) et on la mélange avec l'ancienne tendance. β dit combien on fait confiance à la pente du dernier mois.

5. Le calcul déroulé sur l'exemple (α = 0,3 ; β = 0,2)

Démarrage. Il faut un point de départ. On prend :

• niveau initial = première vente = 302 ;
• tendance initiale = pente moyenne des premiers mois = (vente d'avril − vente de janvier) / 3 = (335 − 302) / 3 = 11,0 par mois.

Février : on prévoit. Prévision = 302 + 11,0 = 313,0. La vente réelle est de 318 : on a sous-estimé de 5,0.

Février : on corrige le niveau. L = 0,3 × 318 + 0,7 × 313,0 = 95,4 + 219,1 = 314,5. Le niveau monte un peu au-dessus de la prévision, mais pas jusqu'à la vente réelle : on ne réagit qu'à 30 %.

Février : on corrige la tendance. Le niveau a bougé de 314,5 − 302 = 12,5. T = 0,2 × 12,5 + 0,8 × 11,0 = 11,3.

Mars : on recommence. Prévision = 314,5 + 11,3 = 325,8 ; vente réelle 309 (on a surestimé), donc le niveau et la tendance se corrigent vers le bas. Et ainsi de suite chaque mois :

La prévision finale. Après le dernier mois, niveau = 462,6 et tendance = 9,7. Donc :

• mois +1 : 462,6 + 1 × 9,7 = 472,3 ;
• mois +3 : 462,6 + 3 × 9,7 = 491,7 ;
• mois +6 : 462,6 + 6 × 9,7 = 520,8.

6. Comment choisir α et β

La méthode pratique : on teste plusieurs couples (α, β) sur l'historique, on mesure à chaque fois l'erreur moyenne des prévisions passées (MAPE), et on retient le couple qui se trompe le moins — en vérifiant qu'il reste raisonnable. Sur notre exemple, erreur moyenne selon les réglages :

Les logiciels de prévision (et le bouton « Trouver les meilleurs paramètres » ci-dessous) font ce test automatiquement sur une grille plus fine. Repères usuels : α entre 0,1 et 0,4, β entre 0,05 et 0,2.

Le paramètre φ (amortissement). Prolonger une tendance très loin est risqué : aucune croissance ne dure indéfiniment. Avec φ un peu inférieur à 1 (par exemple 0,9), la tendance s'essouffle progressivement sur l'horizon de prévision. Avec φ = 1, elle continue en ligne droite.

7. À vous de jouer : graphique interactif

Déplacez les curseurs et observez : la courbe orange en pointillés montre ce que la méthode avait prévu chaque mois, la courbe en tirets la prévision des prochains mois. Survolez le graphique pour lire les valeurs. Vous pouvez aussi coller vos propres ventes.

8. Ce qu'il faut retenir

• Holt suit un niveau et une tendance, corrigés chaque mois par la vente réelle.
• α règle la réactivité du niveau, β celle de la tendance : on les choisit en testant sur l'historique.
• À utiliser pour des ventes qui montent ou descendent régulièrement, sans saisonnalité. Avec des pics saisonniers, passez à Holt-Winters.
• Amortissez la tendance (φ < 1) pour les prévisions à plus de quelques mois.